CDP(Conditional Density Partitioning)
CDP(Conditional Density Partitioning)는 통계적 학습과 데이터 분석에서 사용되는 개념 중 하나입니다. CDP는 주어진 조건 하에서 데이터의 밀도를 분할하여 분석하는 방법론을 의미합니다. 이 기법은 특히 조건부 확률밀도 함수(Conditional Probability Density Function, CPDF)를 추정하고자 할 때 유용합니다.
CDP의 기본 아이디어는 조건부 확률밀도를 사용하여 데이터 공간을 여러 영역으로 나누고, 각 영역에서 데이터의 분포 특성을 분석하는 것입니다. 이를 통해 데이터의 복잡한 구조를 더 잘 이해하고, 예측 모델링, 클러스터링, 분류 등에 활용할 수 있습니다.
CDP를 수식으로 설명하면, 우리는 먼저 조건부 확률밀도함수 \(f(x|y)\)를 가정합니다. 여기서 \(x\)는 관심 있는 변수(예: 예측하고자 하는 값)이고, \(y\)는 조건을 나타내는 변수입니다. CDP는 주어진 \(y\)의 값에 따라 \(x\)의 분포가 어떻게 변하는지를 분석합니다.
조건부 확률밀도함수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ f(x|y) = \frac{f(x, y)}{f(y)} \]
여기서 \(f(x, y)\)는 \(x\)와 \(y\)의 결합 확률밀도함수이고, \(f(y)\)는 \(y\)의 주변 확률밀도함수입니다. 이 식은 \(y\)가 주어졌을 때 \(x\)의 확률밀도를 나타냅니다.
CDP는 이 조건부 확률밀도함수를 추정하고, 데이터 공간을 \(y\)의 다른 값에 따라 여러 영역으로 나눕니다. 각 영역에서 \(x\)의 분포를 분석함으로써, 우리는 \(x\)와 \(y\) 사이의 관계를 더 깊게 이해할 수 있습니다.
실제 데이터에서 CDP를 적용하기 위해서는 비모수적 방법(예: 커널 밀도 추정), 모수적 방법(예: 가우시안 혼합 모델), 또는 반모수적 방법(예: 스플라인 회귀) 등 다양한 통계적 추정 방법을 사용할 수 있습니다. 각 방법은 데이터의 특성과 분석 목적에 따라 선택됩니다.
CDP는 복잡한 데이터 구조를 이해하고, 특히 다변량 데이터에서 변수들 간의 관계를 모델링하는 데 있어서 중요한 도구입니다.
결합 확률밀도함수(joint probability density function, PDF)와 주변 확률밀도함수(marginal probability density function)는 연속 확률 변수의 분포를 설명하는 데 사용되는 두 가지 기본 개념입니다. 이들은 확률 변수들 사이의 관계를 이해하고 분석하는 데 필수적입니다.
결합 확률밀도함수 (Joint PDF)
결합 확률밀도함수는 두 개 이상의 연속 확률 변수가 특정 값을 동시에 취할 확률을 나타냅니다. 예를 들어, 두 연속 확률 변수 \(X\)와 \(Y\)에 대한 결합 확률밀도함수 \(f_{X,Y}(x, y)\)는 \(X=x\) 및 \(Y=y\)를 동시에 만족하는 확률 밀도를 나타냅니다.
결합 확률밀도함수의 정의는 다음과 같습니다:
\[ f_{X,Y}(x, y) \geq 0 \]
또한, 모든 가능한 \(x\)와 \(y\)의 값에 대해 결합 확률밀도함수를 적분하면 1이 됩니다.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \,dx\,dy = 1 \]
이는 모든 가능한 결과의 확률이 1이라는 확률의 기본 원리와 일치합니다.
주변 확률밀도함수 (Marginal PDF)
주변 확률밀도함수는 한 확률 변수의 분포를 나타내면서, 다른 확률 변수(들)의 특정 값에 대한 조건을 무시합니다. 예를 들어, \(X\)의 주변 확률밀도함수는 \(X\)만을 고려하고 \(Y\)의 영향을 고려하지 않습니다.
\(X\)의 주변 확률밀도함수는 \(Y\)에 대한 결합 확률밀도함수를 \(y\)에 대해 적분하여 얻을 수 있습니다:
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \,dy \]
마찬가지로, \(Y\)의 주변 확률밀도함수는 다음과 같이 계산됩니다:
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \,dx \]
주변 확률밀도함수를 통해 한 변수의 전체적인 분포를 이해할 수 있으며, 결합 확률밀도함수를 통해 두 변수 사이의 관계를 파악할 수 있습니다. 이러한 개념은 통계적 분석과 데이터 과학에서 변수 간의 상호 작용과 독립성을 평가하는 데 매우 중요합니다.